Senin, 26 Desember 2011

Geometri Analitik Datar

GEOMETRI ANALITIK DATAR





Oleh :
Nama : Nova Astria
NPM : 1084202014







SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
MUHAMMADIYAH KOTABUMI LAMPUNG
2011








SISTEM KOORDINAT

Untuk menentukan system koordinat pada bidang datar diperlukan 2 buah garis yang saling tegak lurus .
y (ordinat)


x (absis)


Hubungan antara absis dan Ordinat maka membentuk diagram cartesius pada bidang datar.
y
z2 z

o z1 x

Jika terdapat titik (z), pada bidang kartesius, maka z diproyeksikan terhadap sumbu absis (x) yaitu z1, dan diproyeksikan terhadap sumbu ordinat (y) yaitu z2. Z1 dan Z2. dihubungkan dengan titik pusat yaitu 0z1 dan 0z2. Sehingga Z1 dan Z2 masing-masing bernilai (+ dan -) tergantung pada letak Z pada diagram cartesius.

Setiap kartesius dibagi menjadi 4 yang sering disebut kuadran dan pada kuadran tersebut memiliki nilai positif dan nilai negative.

Kw II kw I

Kw III kw IV


Menentukan Jarak 2 Buah Titik

y2 B

y1 A B’

x1 x2

(AB) ̅^2=(BA) ̅^2+(BB') ̅^2
(AB) ̅^2 = (x1 – x2)2 + (y2 – y1)2
(AB) ̅= √(〖(x〗_2 〖-x〗_1 )^2+〖(y〗_2 〖-y〗_1 )^2 )


Contoh :
Diketahui titik A(2,1) dan B(4,5) tentukan jarak (AB) ̅ dan (BA) ̅ ? dan kesimpulan
Penyelesaian :

(AB) ̅= √(〖(x〗_2 〖-x〗_1 )^2+〖(y〗_2 〖-y〗_1 )^2 )
(AB) ̅= √((4-2)^2+(5-1)^2 )
(AB) ̅= √(2^2+4^2 )
(AB) ̅= √20
(AB) ̅=√4.5
(AB) ̅= 2√5
(BA) ̅= √(〖(x〗_2 〖-x〗_1 )^2+〖(y〗_2 〖-y〗_1 )^2 )
(BA) ̅= √((2-4)^2+(1-5)^2 )
(BA) ̅= √((2-4)^2+(1-5)^2 )
(BA) ̅= √((-2)^2+(-4)^2 )
(BA) ̅= √(4+16)
(BA) ̅= √20
(BA) ̅= 2√5
Kesimpulan Jadi jarak (AB) ̅ dan (BA) ̅



Diketahui A(4,3), B(5,4), dan C(6,2) tentukan jarak (BA) ̅,(BC) ̅ dan (CA) ̅
Penyelesaian :

(BA) ̅= √(〖(x〗_2 〖-x〗_1 )^2+〖(y〗_2 〖-y〗_1 )^2 )
(BA) ̅= √((4-5)^2+(3-4)^2 )
(BA) ̅= √((-1)^2+(-1)^2 )
(BA) ̅= √(1+1)
(BA) ̅= √2
(BC) ̅= √(〖(x〗_2 〖-x〗_1 )^2+〖(y〗_2 〖-y〗_1 )^2 )
(BC) ̅= √((6-5)^2+(2-4)^2 )
(BC) ̅= √(1^2+(-2)^2 )
(BC) ̅= √(1+4)
(BA) ̅= √5

(CA) ̅= √(〖(x〗_2 〖-x〗_1 )^2+〖(y〗_2 〖-y〗_1 )^2 )
(CA) ̅= √((4-6)^2+(3-2)^2 )
(CA) ̅= √((-2)^2+1^2 )
(CA) ̅= √(4+1)
(CA) ̅= √5

3. Sebuah segitiga ABC jika A(1,2), B(4,6), dan C(5,1).
Hitung luas segitiga itu
Tentukan panjang masing-masing sisi segitiga
Lukis dalam diagram cartesius

6 B(4,6)
5 I III
4
3
2 A(1,2)
1 II C(5,1)
1 2 3 4 5

Lpp = p  l = 45 = 20
LI = 1/2 a.t = 1/2. 4.3 = 6
LII = 1/2 a.t = 1/2. 4.1 = 2
LIII = 1/2 a.t = 1/2. 5.1 = 2,5
L. segitiga ABC = Lpp¬ – LI  LII  LIII
= 20 – (6 + 2 + 2,5)
= 20 – 10,5
= 9,5


(AC) ̅= √(〖(x〗_2 〖-x〗_1 )^2+〖(y〗_2 〖-y〗_1 )^2 )
(AC) ̅= √((5-1)^2+(1-2)^2 )
(AC) ̅= √(4^2+1^2 )
(AC) ̅= √17

(AB) ̅= √(〖(x〗_2 〖-x〗_1 )^2+〖(y〗_2 〖-y〗_1 )^2 )
(AB) ̅= √((4-1)^2+(6-2)^2 )
(AB) ̅= √(3^2+4^2 )
(AB) ̅= √25
(AB) ̅= 5

(BC) ̅= √(〖(x〗_2 〖-x〗_1 )^2+〖(y〗_2 〖-y〗_1 )^2 )
(BC) ̅= √((5-4)^2+(1-6)^2 )
(BC) ̅= √(1^2+(-5)^2 )
(BC) ̅= √26
Koordinat Titik diantara Dua Titik yang Lain

y2 B(x2,y2)

y2 T(xt,yt) D

y1 A(x1,y1) C

x1 x2 x3


TD : AC = TB : AB = BD : BC
(x_2-x_t)/(x_2-x_1 )=n/(n+m)= (y_2-y_t)/(y_2-y_1 )
(x_2-x_t)/(x_2-x_1 )=n/(n+m)


(x2 – xt) (n + m) = nx2 – nx1
nx2 + mx2 – nxt – mxt = nx2 – nx1
-mxt – nxt = -mx2 – nx1
(m – n) xt = -mx2 – nx1
xt = (〖-mx〗_2-nx_1)/(-m-n)



n/(n+m)=(y_2-y_t)/(y_2-y_1 )
(y2 – yt) (n + m) = ny2 – ny1
nx2 + my2 –nyt – myt = ny2 – ny1
-myt – nyt = -my2 – ny1
(-m – n) yt = -my2 – ny1
y_t=(〖-my〗_2-ny_1)/(-m-n)







Jika T membagi sama besar ( T sebagai titik tengah)
B(xb,yb)

T (xt,yt)

A(xa,ya)















PERSAMAAN GARIS LURUS (PGL)

PGL yang melalui titik A(a,0) dengan sejajar sumbu Y dapat dirumuskan :
P dan Q terletak pada garis yang memiliki absis = a



P(a, yp)


O (0,0) A(a,0)
Q(a,-yq)


PGL yang melalui titik B(0,b) dengan sejajar sumbu X dapatdirumskan :
P dan Q terletak pada garis yang memiliki ordinat = b


B(0,b)
q(-xq,b) p(xp,b)



O (0,0)





Garis lurus yang melalui titik pusat koordinat dan melalui titik P(x,y)


y2 P(x,y)


y1 T

0 x2 R Q(x,0)
x1



Merupakan suatu tanjakan atau kemiringan garis tersebut, ambil :
(x,y) y/x= y_1/x_1
y = y_1/x_1 .x


Contoh :
Carilah persamaan garis yang melalui O(0,0) dan melalui titik (5, -3)
Penyelesaian :
X1 = 5
Y1 = -3
y = y_1/x_1 .x
y = (-3)/5.x
Melalui O(0,0) dan membentuk 60
Penyelesaian :
y = tan 
y = tan 60 x
y= √3



Gradien atau Slope (Kemiringan)


y2 B


y1 A


x1 x2


Gradien m tan 
m= (y_2-y_1)/(x_2-x_1 )

Persamaan garis melalui A(x1,y1) dan bergradien m dapatditentukan sebagai berikut :
(x-x_1)/(x_2-x_1 )= (y-y_1)/(y_2-y_1 )

(x – x1) (y2 – y1) = (y – y1) (x2 – x1)
(x-x_1 ) ((y_2-y_1))/((x_2-x_1))=(y-y_1)



Jika dibalik maka :

(y-y_1 ) ((y_2-y_1))/((x_2-x_1))=(x-x_1)






Persamaan Garis dari Dua Buah Titik

Misalkan : A = x1, y1
B = x2, y2


y C(x,y)


y2 B


y1 A(x,y)


x1 x2 x


Untuk menganalisis persamaan garis :
(x-x_1)/(x_2-x_1 )= (y-y_1)/(y_2-y_1 )

Dari segitiga ABB’ dan ACC’ maka
AB'/AC'= BB'/CC'
(x_2-x_1)/(x-x_1 )= (y_2-y_1)/(y-y_1 ) → ((x-x_1))/(〖(x〗_2-x_1))= ((y-y_1))/((y_2-y_1))


Hubungan Gradien dengan 2 buah Garis
Apabila 2 buah garis sejajar maka m1= m2
Apabila 2 buah garis tegak lurus maka m1. m2 = -1
g Mg = tan 45 = 1
M l = tan 135 = -1
Mg . M l = 1 . -1 = -1 (terbukti)





Persamaan Garis Normal

Persamaan normal garis g yang memotong sumbu X dan sumbu Y positif dapat dinyatakan sebagai berikut :




N

R P(x,y)
O Q(x,0)
ON = n = panjang normal garis g
OQR +  = 90
OQR + PQR = 90
 = PQR

cos⁡〖α= OR/OQ →OR=OQ cos⁡α 〗
sin⁡〖α= RN/PQ →RN=PQ sin⁡α 〗
ON = OR + RN
n = OQ cos  + PQ sin 




contoh soal:
Tentukan persamaan normal garis g yang membentuk 150 dengan sumbu X positif dan mempunyai panjang normal 11 satuan.
Jawab :
150 + x = 180
x = 180 - 150
x = 30


•  + x + 90 = 180
 + 30 + 90 = 180
 + 120 = 180
 = 60

n = x cos  + y sin 
11 = x cos 60 + y sin 60
11 = x . 1/2 + y . 1/2 √3
(1 )/2 x+ 1/2 √3 y-11=0
Tentukan persamaan normal garis g yang membentuk  120 dengan sumbu X positif dan mempunyai panjang normal 8 satuan.
Jawab :

• 120 + x = 180
x = 180 - 120
x = 60

•  + x + 90 = 180
 + 60 + 90 = 180
 + 150 = 180
 = 30
• n = x cos  + y sin 
8 = x cos 30 + y sin 30
8 = x . 1/2 √3 + y . 1/2
1/2 √3 x+ 1/2 y-8=0

Mencari Persamaan Garis Normal Jika diketahui Persamaannya
x cos  + y sin  = n
x cos  + y sin  - n = 0
Ax + By + C = 0, jika dikalikan k, untuk k  0 maka
x cos  + y sin  - n = kAx + kBy + kC
sehingga, kA = cos   k2A2 = cos2 
kB = sin   k2A2 = sin2 
jadi, k2A2 + k2B2 = cos2 + sin2
k2 (A2 + B2) = 1


Subtitusikan K = 1/("" √(A^2+B^2 )) ke persamaan kAx + kBy + kC


Contoh : Carilah persamaan garis normal 4x – 3y – 10 = 0 ?
Jawab:
(4/√(4^2+〖(-3)〗^2 ) x+ (-3)/√(4^2+〖(-3)〗^2 ) y+ (-10)/√(4^2+〖(-3)〗^2 )=0)
(4/5 x-3/5 y-10/5=0)
(4/5 x-3/5 y-2=0)
Jarak garis dari titik (x1,y1) ke garis Ax + By + C = 0



Contoh:
Carilah jarak antara titik (2,3) ke garis 6x – 8y + 4 = 0
Jawab :
d=|(6.2-8.3+4)/√(6^2+〖(-8)〗^2 )|
d=|(12-24+4)/√100|
d=|(-8)/10|
d=|(-4)/5|
d= 4/5

Kedudukan 2 buah garis
g1= A1x + B1y + C1
g2 = A2x + B2y + C2
Berpotongan
Jika A_1/A_2  B_1/B_2 =C_1/C_2 (titik memiliki 1 titik potong)
Sejajar
Jika A_1/A_2 =B_1/B_2  C_1/C_2 (titik memiliki titik potong)

Berhimpit
Jika A_1/A_2 =B_1/B_2 =C_1/C_2 (titik potong tak hingga)
Contoh :
Diketahui beberapa persamaan dibawah ini :
g1 = x + 3y – 2 = 0
g2 = 2x + 4y – 2 = 0
g3 = 2x – y + 4 = 0
g4 = 2x + 6y + 12 = 0
g5 = 4x + 8y – 4 = 0
Jawab :
• Berpotongan
g1 dan g2
├ █(x+3y-2=0@2x+4y-20=0)}
g1 dan g3
├ █(x+3y-2=0@2x-y+4=0)}
• Sejajar
g1 dan g4
├ █(x+3y-2=0@2x+6y+16=0)}
• Berimpit
.g2 dan g5
├ █(2x+4y-2=0@4x+8y-4=0)}
Jarak Antara Dua Garis Sejajar

Misalkan terdapat dua garis sejajar
g_1=A_1 x+B_1 y+C_1
g_2=A_2 x+B_2 y+C_2
Dapat dicari dengan menentukan jarak sebuah titik yang terletak pada g_1 dan g_2 atau sebaliknya.
Contoh :
g_1=2x+y-4=0
g_2=6x+3y+10=0 titik A(2, 0)
Terletak pada g_2
A(2,0)→g_1=2 .2+0-4
=4-4
=0
d=|(6 .2+3 .0+10)/√(6^2+3^2 )|
=|(12+10)/√45|
=|22/(3√5)|
= 22/(3√5)
Jika diketahui segitiga ABC dengan A(3, -5), B(3, 2), dan C(-5, 1). Tentukan :
Persamaan garis AB, BC, AC
Persamaan garis berat segitiga tersebut



Penyelesaian :








Persamaan garis
AB: (x-x_1)/(x_2-x_1 )=(y-y_1)/(y_2-y_1 )
(x-3)/(3-0) = (y-(-5))/(2-(-5) )
(x-3)/0 = (y+5)/7
7(x-3)=0(y+5)
7x-21=0
7x=21
x=3
BC: (x-x_1)/(x_2-x_1 )=(y-y_1)/(y_2-y_1 )
(x-3)/(-5-3)=(y-2)/(1-2)
(x-3)/(-8)=(y-2)/(-1)
-x+3=-8y+16
-x+8y-13=0
x-8y+13=0 AC: (x-x_1)/(x_2-x_1 )=(y-y_1)/(y_2-y_1 )
(x-3)/(-5-3)=(y-(-5))/(1-(-5) )
(x-3)/(-8)=(y+5)/6
6x-18=-8y-40
6x+8y+22=0

Koordinat yang membagi 2 titik
Koordinat A^' (diantara garis BC)
xA’ = (3+(-5))/2=-1
yA’ = (2+1)/2= 3/2
A’ (-1, 3/2)

xB’ = (3+(-5))/2=-1
yB’ = (-5+1)/2=-2
B’ (-1, -2)
Koordinat C^' (diantara garis AB)
├ █(xC’ = (3+3)/2=3@yC’ =(-5+2)/2=-3/2)} C^' (3,-3/2)
AA^': (x-x_1)/(x_2-x_1 )=(y-y_1)/(y_2-y_1 )
(x-3)/(-1-3)=(y-(-5))/(3/2-(-5) )
(x-3)/(-4)=(y+5)/(13/2)
13/2 x- 39/2=-4y-20
13/2 x+4y+ 1/2=0 (x 2)
13x+8y+1=0

BB^': (x-x_1)/(x_2-x_1 )=(y-y_1)/(y_2-y_1 )
(x-3)/(-1-3)=(y-2)/(-2-2)
(x-3)/(-4)=(y-2)/(-4)
-4x+12=-4y+8
-4x+4y+4=0 { kalikan (–) }
4x-4y-4=0
CC^': (x-x_1)/(x_2-x_1 )=(y-y_1)/(y_2-y_1 )
(x-(-5))/(3-(-5) )=(y-1)/(-3/2-1)
(x+5)/8=(y-1)/(-5/2)
- 5/2 x- 25/2=8y-8
- 5/2 x-8y- 25/2+8=0
- 5/2 x-8y- 9/2=0 { dikalikan (-2) }
5x+16y+9=0
















Kurva Lengkung

Ada beberapa jenis kurva yang berbentuk kelengkungan pada bidang datar
Lingkaran
Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik-titik tertentu. Jarak tersebut dinamakan radius atau jari – jari.
Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0)











Jadi untuk lingkaran yang berpusat di O(0, 0) memiliki persamaan x^2+y^2=r^2
Persamaan lingkaran yang berpusat di A(a, b)






Persamaan lingkaran yang berpusat di A(a, b) adalah (x-a)^2+(y-b)^2=r^2
Contoh:
Tunjukan persamaan lingkaran melalui titik P(4, 3) dengan pusat O
Carilah persamaan lingkaran dengan pusat O den jari – jari 2√3
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat A(1, -2) dengan melalui jari – jari P(4, 2)

Jawab :
r=√(x^2+y^2 )
=√(4^2+3^2 )
=√(16+9)
=√25
=5
x^2+y^2=r^2
x^2+y^2=25

x^2+y^2=r^2
x^2+y^2=(2√3)^2
x^2+y^2=4 . 3
x^2+y^2=12

r=√((x-a)^2+(y-b)^2 )
=√((4-1)^2+(2-(-2) )^2 )
=√(3^2+4^2 )
=√(9+16)
=√25
=5


Bentuk Umum Lingkaran
x^2+y^2+2Ax+2By+c=0
x^2+y^2+2Ax+2By=-c
x^2+2Ax+A^2+y^2+2By+B^2=-c+A^2+B^2
(x+A)^2+(y+B)^2=A^2+B^2-c
=r




Contoh :
Tentukan titik puncak dan jari – jari lingkaran dari persamaan :
x^2+y^2-4x+6y-12=0
Jawab :
Cara I
x^2+y^2-4x+6y-12=0
2A=-4
A=-2 2B=6
B=3 r=√(A^2+B^2-c)
=√((-2)^2+(3)^2—12)
=√(4+9+12)
=√25
=5

Cara II
A=-4
B=6
C=-12
P=(-1/2 A,-1/2 B)
=(-1/2 (-4),-1/2 (6) )
=(2,-3)

Contoh :
Tententukan Persamaan lingkaran yang melalui titik A(1,3), B(6,-2), dan C(-3,-5). Tentukan letak pusat dan jari-jari liA(1,3ngkaran lukis dan diagram kartesius.
Penyelesaian :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
A(1,3) maka 1 + 9 + A + 3B + C = 0
A + 3B + C = - 10 . . . . . . . . . . .1
B(6,-2) maka 36 + 4 + 6A – 2B + C = 0
6A – 2B + C = -40 . . . . . . . . . .2
C(-3, -5) maka 9 + 25 – 3A – 5B + C = 0
-3A - 5B + C = -34 . . . . .. . . .3
Eliminasi persamaan 1 dan 2
■(A+3B+C=-10@6A-2B+C= -40)/■(-5A+5B=30@-A+B=4)-
Eliminasi persamaan 1 dan 3
■(A+3B+C=-10@-3A-5B+C=-34)/■(4A+8B=24@ A+B=6………(4) )
Eliminasi persamaan 4 dan 5
■(-A+B=6@A+2B=6)/( ■(3B=12@B=4 ))
Subtitusikan persamaan 4 ke B=4
-A+B=6
-A+4=6
-A=6-4
-A=2
A=-2
Subtitusikan A=-2,B=4 ke persamaan 1
A+3B+C=-10
-2+3(4)+C=-10
-2+12+C=-10
10+C=-10
C=-10-10
C=-20


P=(-1/2 A,-1/2 B)
=(-1/2 (-2),-1/2 (4) )
=(1,-2)

r=√((1/2 A)^2+(1/2 B)^2-C)
=√((1/2 (-2) )^2+(1/2 (4) )^2-(-20) )
=√(1+4+20)
=√25
=5















GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN

Persamaan Garis Singgung lingkaran x^2+y^2=r^2 dengan gradien m












D=0 (karena garis menyinggung kurva (θ))
x^2+y^2=r^2
x^2+(mx+c)^2=r^2
x^2+(mx+c)(mx+c)=r^2
x^2+m^2 x^2+mcx+mcx+c^2-r^2=0
(1+m^2 ) x^2+2mcx+c^2-r^2

-4c^2+4r^2+4m^2 r^2=0
c^2+r^2+m^2 r^2=0
r^2+m^2 r^2=c^2
c^2= r^2+m^2 r^2
c =±√(r^2+m^2 r^2 )
c =±r√(1+m^2 )

D=0
b^2-4ac=0
(2mc)^2-4(1+m^2 )(c^2-r^2 )=0
4m^2 c^2-4(c^2-r^2+m^2 c^2 )=0
4m^2 c^2-4 c^2+4r^2=0



Persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2=r^2 dengan gradien m adalah
y=mx±c
y=mx±r√(1+m^2 )

Persamaan garis singgung lingkaran (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 dengan gradien m, pusat A(a,b) adalah
(y-b)=m(x-a)±c
(y-b)=m(x-a)±r√(1+m^2 )

Persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2=r^2 melalui (x_1,y_1 )
















Gradien terhadap garis OP adalah :
M_OP=(y_1-0)/(x_1-0)
M_OP=y_1/x_1
OP⊥g maka:
M_OP .M_g=-1
y_1/x_1 . M_g=-1
M_g=-x_1/y_1


Persamaan garis singgung lingkaran 〖(x-a)〗^2+〖(y-b)〗^2=r^2 melalui (x_1,y_1 ) adalah (x_1-a)(x-a)+(y_1 -b)(y-b)=r^2

Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik (x_1,y_1 )
(y-y_1 )=m(x-x_1 )
(y-y_1 )=-x_1/y_1 (x-x_1 )
y_1 y-〖y_1〗^2=-x_1 x+〖x_1〗^2
x_1 x+y_1 y=〖x_1〗^2+〖y_1〗^2
x_1 x+y_1 y=r^2

Jadi, Persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2=r^2 melalui (x_1,y_1 ) adalah




KUASA TITIK TERHADAP LINGKARAN

Jika dari titik P(x1,y1) ditarik garis yang memotong lingkaran dititik a dan b maka hasil x jarak (PA) ̅ x dan (PB) ̅ dinamakan dengan kuasa titik P terhadap lingkaran yang senilai dengan kuadrat jarak titik P dengan titik singgung.

k

B



Nilai kuasa titik terhadap sebuah lingkaran
Apabila titik kuasa ini terletak diluar lingkaran maka nilai kuasa titiknya (+), karena arah-arah segmen- segmen garis searah, sehingga hasil kalinya positif.
Jika titik kuasa terletak didalam lingkaran maka nilai kuasanya (-) karena arah kedua segmen berlainan.
Jika titik kuasa terletak pada lingkaran maka nilai kuasanya 0 (nol) karena panjang segmen-segmen garis = 0
Notasi  nilai kuasa  K2

Nilai kuasa titik terhadap sebuah lingkaran yang berpusat di (0, 0) x^2+y^2=r^2



Kuasa berpusat (a, b)
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2



Kuasa P(x_1,y_1) terhadap lingkaran
x^2+y^2+Ax+By+c=0


Contoh :
Ditanyakan kuasa titik (3, 2) kepada lingkaran x^2+y^2+2x-6y+1=0 dimana letak titik tersebut?
Jawab :
〖x_1〗^2+〖y_1〗^2+2x_1-6y_1+1=± k^2
3^2+2^2+2 .3-6(2)+1=± k^2
9+4+6-12+1=± k^2
13-6-12+1=± k^2
8=± k^2
k=± √8
k=± 2√2







GARIS KUASA DUA BUAH LINGKARAN
Garis kuasa 2 buah lingkaran adalah tempat kedudukan darii titik – titik yang kuasanya kepada dua buah lingkaran sama besar.







Garis P = garis kuasa dari lingkaran 1 dan 2 (L_1 dan L_2) maka persamaan garis P jika L_1=0 dan L_2=0 maka


Contoh Soal :
Tentukanlah garis kuasa kedua lingkaran dengan persamaan x^2+y^2=25 dan
x^2+y^2+6x-8y+11=0
Penyelesaian :
L_1=x^2+y^2=0 L_2 ∶ Pusat (3,4)
r=√(3^2+4^2+11)
=√36
=6


P≡x^2+y^2-25-(x^2+y^2-6x-8y-11)=0
x^2+y^2-25-x^2-y^2+6x+8y+11=0
├ 6x+8y-14=0} x 1/2
3x-4y-7=0


BERKAS LINGKARAN
Berkas Lingkaran Dari Perpotongan L1 dan L2









Berkas Lingkaran Dari Perpotongan Lingkaran






Contoh :
Tentukan persamaan berkas yang melalui tipot
L1 = x2 + y2 – 6x – 8y – 11 = 0
L2 = x2 + y2 - 4x – 6y – 22 = 0
Lingkaran ini melalui titik pangkal O(0,0)
Penyelesaian :
L1 + λL2
x2 + y2 – 6x – 8y – 11 + λ (x2 + y2 - 4x – 6y – 22) = 0
Subtitusi (0,0) ke persamaan di atas:
x2 + y2 – 6x – 8y – 11 + λ (x2 + y2 - 4x – 6y – 22) = 0
02 + 02 – 6(0) – 8(0) – 11 + λ(02 + 02 – 4(0) – 6(0) – 22) = 0
-11 + λ(-22) = 0
λ = -1/2
Subtitusi λ pada persamaan :
x2 + y2 – 6x – 8y – 11 + λ (x2 + y2 - 4x – 6y – 22) = 0
x2 + y2 – 6x – 8y – 11 + -1/2 (x2 + y2 - 4x – 6y – 22) = 0
1/2x2 +1/2 y2 - 4x – 5y= 0  2

Maka x2 + y2 – 8x – 10y = 0
Pusat (4,5)
r = √(4^2+5^2 )
r = √41
r = 6,4
r = 6






Persamaan Elips Berpusat di (0, 0)











Persamaan elips di atas dapat diperoleh dengan langkah – langkah sebagai berikut :
〖TF〗_1+TF_2=2a
√((x-c)^2+y^2 )+√((x+c)^2+y^2 )=2a
√((x-c)^2+y^2 )=2a-√((x+c)^2+y^2 )
x^2-2cx+c^2+y^2=4a^2-4a√(x^2+2cx+y^2 ))+x^2+2cx+c^2+y^2
4a√(x^2+2cx+c^2+y^2 )=4a^2+4cx
a√(x^2+2cx+c^2+y^2 )=a^2+cx
a^2 (x^2+2cx+c^2+y^2 )=a^4+2a^2 cx+c^2 x^2
(a^2-c^2)x^2+a^2 y^2=a^2 (a^2-c^2)

Perlu diketahui bahwa nilai a^2-c^2 selalu tetap. Misalkan nilai tetap tersebut diganti dengan b^2, maka persamaan elips yang berpusat di titik (0, 0), dengan fokus F_1 (c,0) dan F_2 (-c,0) adalah:


Atau,




Latus Rectum :


Contoh soal:
Diketahui titik P(x,y), F(4,0) dan garis 4x-25=0. Tentukan persamaan elips yang mempunyai sifat PF∶PD=4∶5 (PD adalah jarak P ke garis 4x-25=0).
Jawab:
|PF|/|PD| =4/5
|PF|=4/5 |PD|
√((x-4)^2+y^2 )=4/5 |x-25/4|
x^2-8x+16+y^2=16/25 (x^2-25/2 x+625/16)
〖9x〗^2+25y^2=225
x^2/25+y^2/9=1 dapat pula fokusnya berpua
Jadi, persamaan elipsnya adalah x^2/25+y^2/9=1



Suatu elips yang berpusat di (0, 0) dapat pula fokusnya terletak pada sumbu Y dan puncaknya juga terletak pada sumbu Y. Dengan demikian, dengan cara yang sama kita dapat menentukan persamaan elipsyang berpusat di (0, 0) fokus (0, c) dan (0, -c) serta dengan panjang sumbu mayor 2a adalah sebagai berikut,

Atau,



Untuk b^2=a^2-c^2 ; a, b, dan c bilangan positif.
Contoh soal :
Tentukan persamaan elips yang puncaknya (0, 6) dan (0, - 6), serta fokusnya (0, 4) dan (0, -4)
Jawab:
Diketahui : a=6 dan c=4, maka
b^2=a^2-c^2
=36-16
=20
Jadi, persamaannya adalah :
x^2/20+y^2/36=1







PERSAMAAN ELIPS BERPUSAT DI (h,k)

Analisis rumus :
PF_1+PF_2=2a
√((x-(h+c) )^2+(y-k)^2 )+√((x-(h-c) )^2+(y-k)^2 )=2a
√((x-(h+c) )^2+(y-k)^2 )=2a-√((x-(h-c) )^2+(y-k)^2 )
(x-(h+c) )^2+(y-k)^2=(2a-√((x-(h-c) )^2+(y-k)^2 ))^2
(x^2-2hx+2cx-2hc+h^2+c^2+y^2-2yk+k^2 )=4a^2-4a√((x-(h-c) )^2+(y-k)^2 )+(x-(h-c) )^2+(y-k)^2
4a√((x-(h+c) )^2+(y-k)^2 )=4a^2+x^2-2hx-2cx+2hc+h^2+c^2+y^2-2yk+k^2-x^2+2hx-2cx+2hc-h^2+c^2+y^2-2yk+k^2
4a√(x^2-2hx+2cx-2hc+h^2+c^2+y^2-2yk+k^2 )=4a^2-(4cx+4hc)
a√(x^2-2hx+2cx-2hc+h^2+c^2+y^2-2yk+k^2 )=a^2-(cx+hc)
a^2 (x^2-2hx+2cx-2hc+h^2+c^2+y^2-2yk+k^2 )=(a^2-(cx+hc) )^2
〖a^2 x〗^2-2a^2 hx+2a^2 cx-2a^2 hc+a^2 h^2+〖a^2 c〗^2+〖a^2 y〗^2-2a^2 yk+〖a^2 k〗^2=a^4-2a^2 (cx+hc)+(cx+hc)^2
〖a^2 x〗^2-2a^2 hx+2a^2 cx-2a^2 hc+a^2 h^2+〖a^2 c〗^2+〖a^2 y〗^2-2a^2 yk+〖a^2 k〗^2=a^4-2a^2 cx+2a^2 hc+c^2 x^2+2c^2 hx+h^2 c^2
〖a^2 x〗^2-2a^2 hx+2a^2 cx-2a^2 hc+a^2 h^2+a^2 y^2+2a^2 yk+〖a^2 k〗^2+2a^2 hx-2a^2 cx-c^2 x^2-2c^2 hx-h^2 c^2=a^4-〖a^2 c〗^2
(〖a^2 x〗^2-2a^2 hx+a^2 h^2 )-(c^2 x^2-2c^2 hx-h^2 c^2 )+(a^2 y^2-2a^2 yk+a^2 k^2 )=a^2-(a^2-c^2 )
a^2 (x^2-2hx+h^2 )-c^2 (c^2-2hx-h^2 )+a^2 (y^2-2yk+k^2 )=a^2 (a^2-c^2 )
a^2 (x-h)^2-c^2 (x-h)^2+a^2 (y-k)^2=a^2 (a^2-c^2 )
((a^2-c^2 )(x-h)^2)/(a^2 (a^2-c^2 ) )+(a^2 (y-k)^2)/(a^2 (a^2-c^2 ) )=(a^2-(a^2-c^2 ))/(a^2-(a^2-c^2 ) )
((x-h)^2)/a^2 +((y-k)^2)/((a^2-c^2 ) )=1 dimana,a^2-c^2=b^2
maka,((x-h)^2)/a^2 +((y-k)^2)/b^2 =1




Rumus Apabila Sumbu Mayor yang Sejajar Sumbu X
 Titik Pusat : (h,k)
 Titik Fokus (Titik Api) : (h+c,k) dan (h-c,k) dengan c2 = a2 – b2
 Perpotongan Sumbu Mayor : (h+a,k) dan (h-a,k) (puncak x)
 Perpotongan Sumbu Minor : (h,k+b) dan (h,k-b)
 Panjang Sumbu Mayor : 2a
 Pajang Sumbu Minor : 2b
 Puncak : (h+a, k) dan (h-a,k)
Rumus Apabila Sumbu Mayor yang Sejajar Sumbu Y
 Titik Pusat : (h,k)
 Titik Fokus (Titik Api) : (h+c,k) dan (h-c,k) dengan c2 = a2 – b2
 Perpotongan Sumbu Mayor : (h,k+a) dan (h,k-a)
 Perpotongan Sumbu Minor : (h+b,a) dan (h-b,k)
 Panjang Sumbu Mayor : 2a
 Pajang Sumbu Minor : 2b
 Puncak : (h, k-a) dan (h,k+a)

Contoh soal :
Perhatikan elips yang persamaannya adalah seperti berikut.
4x^2+9y^2-48x+72y+144=0
Tentukan koordinat titik pusat, puncak, fokus, panjang sumbu mayor dan minor serta buatlah sketsanya.
Jawab :
Nyatakan terlebih dahulu persamaan elips tersebut kedalam bentuk baku.
((x-h)^2)/a^2 +((y-k)^2)/b^2 =1
4x^2+9y^2-48x+72y+144=0
4x^2+9y^2-48x+72y=-144
4(x^2-12x)+9(y^2+8y)=-144
4(x^2-12x+36)+9(y^2+8y+16)=-144+144+144
4(x-6)^2+9(y+4)^2=144
((x-6)^2)/36+((y+4)^2)/16=1
dari persamaan di atas diperoleh:
a=6,b=4, maka c=2√5 , h=6,k=-4
Titik puncak : (h,k)=(6,-4)
Fokus : (h+c,k)=(6+2√5,-4)
(h-c,k)=(6-2√5,-4)
Panjang sumbu mayor : 2a=2 .6=12
Panjang sumbu minor : 2b=2 .4=8
Puncak : (h+a,k)=(6+6,-4)=(12,-4)
(h-a,k)=(6-6,-4)=(0,-4)








grafik


















PERSAMAAN GARIS SINGGUNG MELALUI TITIK (x_1,y_1 ) PADA ELIPS


Perhatikan Elips x^2/a^2 +y^2/b^2 =1 berikut ini!
y





x

g_1



Titik P(x_1,y_1 ) dan Q(x_1+h,y_1+k) terletak pada elips. Ini berarti memenuhi persamaan
〖x_1〗^2/a^2 -〖y_1〗^2/b^2 =1…………(1)
(x_1+h)^2/a^2 -(y_1+k)^2/b^2 =1…………(2)
Kurangkan persamaan (1) terhadap persamaan (2)

〖x_1〗^2/a^2 -〖y_1〗^2/b^2 -1=0…………(1)
(x_1+h)^2/a^2 -(y_1+k)^2/b^2 -1=0…………(2)
((x_1+h)^2/a^2 -(y_1+k)^2/b^2 -1)-(〖x_1〗^2/a^2 -〖y_1〗^2/b^2 -1)=0
((b^2 (x_1+h)(x_1+h)+a^2 (y_1+k)(y_1+k))/(a^2 b^2 ))-((b^2 〖x_1〗^2+a^2 〖y_1〗^2)/(a^2 b^2 ))=0
((b^2 (〖x_1〗^2+hx_1+hx_1+h^2 )+a^2 (〖y_1〗^2+ky_1+ky_1+k^2 ))/(a^2 b^2 ))-((b^2 〖x_1〗^2+a^2 〖y_1〗^2)/(a^2 b^2 ))=0
((b^2 (〖x_1〗^2+2hx_1+h^2 )+a^2 (〖y_1〗^2+2ky_1+k^2 )-b^2 〖x_1〗^2+a^2 〖y_1〗^2)/(a^2 b^2 ))=0
(b^2 〖x_1〗^2+2b^2 hx_1+b^2 h^2+a^2 〖y_1〗^2+2a^2 〖ky_1+a〗^2 k^2-b^2 〖x_1〗^2+a^2 〖y_1〗^2)/(a^2 b^2 )=0
2〖b^2 hx〗_1+〖b^2 h〗^2+2〖a^2 ky〗_1+a^2 k^2=0 .a^2 b^2
2〖b^2 hx〗_1+〖b^2 h〗^2+2〖a^2 ky〗_1+a^2 k^2=0………………(3)
2〖b^2 hx〗_1+〖b^2 h〗^2+2〖a^2 ky〗_1+a^2 k^2=0 dapat dinyatakan sebagai gradien garis PQ atau perbandingan k terhadap h berikut ini∶
b^2 h(2b^2 x_1+b^2 h)+k(2〖a^2 y〗_1+a^2 k)=0
k(2〖a^2 y〗_1+a^2 k)=- b^2 h(2b^2 x_1+b^2 h)
k/h=-(2b^2 x_1+b^2 h)/(2a^2 y_1+a^2 k)

Jika P makin mendekati Q, maka nilai k dan h mendekati 0. Sehingga :
k/h=-(b^2 x_1)/(a^2 y_1 )
Dengan menggunakan rumus y-y_1=m(x-x_1 ), maka:
y-y_1=-(b^2 x_1)/(a^2 y_1 ) (x-x_1 )
y-y_1 (a^2 y_1 )=-b^2 x_1 (x-x_1 )
a^2 y_1 y-a^2 〖y_1〗^2=-b^2 x_1 x+b^2 〖x_1〗^2
a^2 y_1 y+b^2 x_1 x=a^2 〖y_1〗^2+b^2 〖x_1〗^2
Oleh karena a^2 〖y_1〗^2+b^2 〖x_1〗^2=a^2 b^2, maka a^2 y_1 y+b^2 x_1 x=a^2 b^2
Jadi, persamaan garis singgung tersebut adalah:
(〖a^2 y_1 y+b〗^2 x_1 x=a^2 b^2)/(a^2 b^2 )
(a^2 y_1 y)/(a^2 b^2 )+(b^2 x_1 x)/(a^2 b^2 )=1
Atau


Contoh soal.
Tentukan persamaan garis singgung Elips ¬¬¬¬¬
〖x_1〗^2/a^2 -〖y_1〗^2/b^2 melalui titik (-2, 1)

Jawab :
(x_1 x)/a^2 +(y_1 y)/b^2 =1⟹(-2x)/2+1y/8=1
(-8x+y)/8=1
-8x+y=8 atau y=8x+8
Jadi Persamaan garis singgungnya y=8x+8
Tentukan persamaan garis singgung Elips
〖x_1〗^2/a^2 -〖y_1〗^2/b^2 =1 melalui titik (-2,√3)
Jawab :
(x_1 x)/a^2 +(y_1 y)/b^2 =1
(-2x)/16+(√3 y)/4=1
(-2x+4√3 y)/16=1
-2x+4√3 y=16( dikalikan negatif)
2x-4√3 y=-16











PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELIPS BERGRADIEN m


y=mx+c
Pada gambar disamping terdapat garis dengan persamaan y=mx+c yang menyinggung pada elips. Jika persamaan garis tersebut disubstitusi-kan pada persamaan elips x^2/a^2 +y^2/b^2 =1, maka akan diperoleh :
x^2/a^2 +(mx+c)^2/b^2 =1
b^2 x^2+a^2 (mx+c)^2=a^2 b^2
b^2 x^2+a^2 (m^2 x^2+2mcx+c^2 )=a^2 b^2
b^2 x^2+a^2 m^2 x^2+2a^2 mcx+a^2 c^2=a^2 b^2
b^2 x^2+a^2 m^2 x^2+2a^2 mcx+a^2 c^2-a^2 b^2=0
(b^2+a^2 m^2 ) x^2+2a^2 mcx+a^2 c^2-a^2 b^2=0

a b c

Karena garis tersebut menyinggung ada elips, maka diskriminannya sama dengan nol:
D=0
D=b^2-4ac ;subtitusikan dengan persamaan di atas
⟹(〖2a〗^2 mc)^2-4(b^2+a^2 m^2 )(a^2 c^2-a^2 b^2 )=0
⟹〖4a〗^4 m^2 c^2-4(a^2 b^2 c^2-a^2 b^4+a^4 m^2 c^2-a^4 m^2 b^2 )=0
⟹〖4a〗^4 m^2 c^2-4a^2 b^2 c^2+4a^2 b^4-4a^4 m^2 c^2+4a^4 m^2 b^2=0
⟹-4a^2 b^2 c^2+4a^2 b^4+4a^4 m^2 b^2=0
4a^2 b^2 c^2 =4a^2 b^4+4a^4 m^2 b^2
a^2 b^2 c^2 =a^2 b^4+a^4 m^2 b^2
a^2 b^2 c^2=a^2 b^2 (b^2+a^2 m^2 )
c^2 = (a^2 b^2 (b^2+a^2 m^2 ))/(a^2 b^2 )
c^2 =b^2+a^2 m^2
c =√(b^2+a^2 m^2 )

Jadi persamaan garis singgung elips bergradien m yakni :
Berpusat di (0, 0) dan


Untuk yang berpusat di (h, k)


Example :
Tentukan persamaan garis singgung elips berikut :
x^2/4+y^2/2=1 dengan gradien = 2
Jawab :
x^2/4+y^2/2=1 dan M=2,diperoleh a^2=4,b^2=2,m=2
Maka,y=mx±√(b^2+a^2 m^2 )
y=2x±√(2+4(2)^2 )
y=2x±√(2+16)
y=2x±√(18 )
Jadi,persamaan garis singgungnya y=2x+√18 dan y=2x-√18

Dengan rumus y-k=m(x-h)±√(b^2+a^2 m^2 ), tentukan persamaan garis singgung (x+3)^2/6+(x-1)^2/1=1 dengan gradien 2
Jawab :
(x+3)^2/6+(x-1)^2/1=1 ;m=2 diperoleh∶ a^2=6,b^2=1,h=-3,k=1,m=2
Maka,y-k=m(x-h)±√(b^2+a^2 m^2 )
y-1=2(x-(-3) )±√(1+6.(2)^2 )
y-1=2x+6±√(1+24)
y=2x+6+1±√25
y=2x+7±5
y_1= 2x+7+5 〖 y〗_2= 2x+7-5
=2x+12 =2x+2
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y=2x+12 dan y=2x+2



















Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x_1,y_1 ) di Luar Elips

Untuk menentukan garis singgung melalui sebuah titik di luar elips, tentunya tidak terdapat rumus baku. Kita hanya perlu menggunakan rumus yang sudah ada dan sudah dibahas pada materi sebelumnya. Seperti yang akan kita bahas pada kali ini yakni persamaan garis singgung melalui titik (x_1,y_1 ) di luar elips, maka kita akan menggunakan rumus :

Atau

Contoh :
Buktikan bahwa titik ( -2, -1 ) terletak diluar elips x^2+y^2/5=1 kemudian tentukan persamaan garis singgung elips tersebut melalui titik ( -2, -1 )
Jawab :
Substitusikan titik ( -2, -1 ) ke persamaan x^2+y^2/5=1,diperoleh 〖(-2)〗^2/1+〖(-1)〗^2/5>1. Ini berarti titik tersebut berada diluar elips.
Jika titik (x_1,y_1 ) merupakan titik singgung terhadap elips, maka memenuhi persamaan:
x_1 x+(y_1 y)/5=1 atau 5x_1 x+y_1 y=5………………(1)
5〖x_1〗^2+〖y_1〗^2=5…………………………………………(2)
Oleh karena titik ( -2, -1 ) terletak pada garis singgung (1) maka akan dipenuhi:
-10x_1-y_1=5 ⟶ y_1=(-10x_1-5)………….(3)
Selesaikan persamaan (3) dengan mensubtitusikan ke persamaan (2)
5〖x_1〗^2+(-10x_1-5)^2=5
5〖x_1〗^2+〖100x_1〗^2+100x_1+25=5
〖105x_1〗^2+100x_1+20=0
〖21x_1〗^2+20x_1+4=0
(7x_1+2)(3x_1+2)=0



Hiperbola Berpusat di (0,0)

Hiperbola berpusat di (0,0) dengan focus dan titik puncak berada pada sumbu



(-a,b) (a,b)


F2(-c,0) (-a,0) 0 (a,0) f1(c,0)

(-a,-b) (a,-b



TF2 – TF1 = 2a
√((x-(-c) )^2+(y-0)^2 )-√((x-c)^2+(y-0)^2 )=2a
√((x+c)^2+y^2 )-√((x-c)^2+y^2 )=2a
√((x+c)^2+y^2 )=2a+√((x-c)^2+y^2 )
(√((x+c)^2+y^2 ) )^2=(2a+√((x-c)^2+y^2 ))
(x+c)^2+y^2=4a^2+4a√((x-c)^2+y^2+(x-c)^2+y^2 )
(x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2+4a√((x-c)^2+y^2 )+y^2+x^2-2cx+c^2+y^2
-4a√((x-c)^2+y^2 )=4a^2-4cx
-a√((x-c)^2+y^2 )=a^2-cx
(-a√((x-c)^2+y^2 ) )^2=〖(a〗^2-cx)^2
a^2 ((x-c)^2+y^2 )=a^4-2a^2 cx+c^2 x^2
a^2 (x^2-2cx+c^2+y^2 )=a^4-2a^2 cx+c^2 x^2
a^2 x^2-2a^2 cx +a^2 c^2+a^2 y^2=a^4-2a^2 cx+c^2 x^2
a^2 x^2-c^2 x^2+a^2 y^2=a^4-a^2 c^2
x^2 (a^2 c^2)+a^2 y^2=a^2 (a^2-c^2)
〖-b〗^2 x^2+a^2 y^2=-a^2 b^2
b^2 x^2-a^2 y^2=a^2 b^2
(b^2 x^2)/(a^2 b^2 )-(a^2 y^2)/(a^2 b^2 )= (a^2 b^2)/(a^2 b^2 )
x^2/a^2 -y^2/b^2 = 1

Hiperbola berpusat di (0,0) dengan focus dan puncaknya berada pada sumbu y















Contoh soal:
Tentukanlah koordinat titik puncak, titik focus, panjang sumbu mayor, dan sumbu minor, persamaan asimtot, panjang lotus rectum, dan sketsalaah hiperbola tersebut. Jika diketahui persamaan hiperbola :
x^2/16-y^2/9= 1


Jawab :
Koordinat titik puncak
x^2/16-y^2/9= 1
x^2/4-y^2/3= 1
Maka a= 4 dan b= 3
Jadi koordinat titik puncaknya A1(4,0) dan A2(-4,0)
Titik focus
c2 = a2 + b2
c2 = 42 + 32+
c2 = 25
c = 5
maka titik fokusnya adalah F1(5,0) dan F2(-5,0)
Panjang sumbu mayor = 2.a = 2.4 = 8
Panjang sumbu minor = 2.b = 2.3 = 6
Persamaan asimtot
y= 6/4 x
y= 3/4 x
jadi persamaan asimtotnya adalah
y= 3/4 x atau y=-3/4 x

Panjang latus rectum
L= 〖2b〗^2/a
=(2.3^2)/4
=18/4
=41/2


Tentukanlah persamaan hiperbola yang puncaknya (0, 3) dan (0, -3) serta fokusnya (0, 5) dan (0, -5)
Jawab :
a=3 dan c=5
maka,
b^2=c^2-a^2
b^2=5^2-3^2
b^2=25-9
b^2=16
b=√16=4
x^2/b^2 -y^2/a^2 =- 1
x^2/4^2 -y^2/3^2 = -1
x^2/16-y^2/9=- 1
Jadi, perasamaan hiperbolanya adalah x^2/16-y^2/9=- 1










PERSAMAAN HIPERBOLA BERPUSAT DI (h, k)

Perhatikan gambar!









Persamaan hiperbola berpusat di titik (h, k), dan sumbu mayornya sejajar sumbu X seperti ditunjukkan pada gambar di atas, dapat diperoleh dengan kaedah serta metode yang sama seperti persamaan hiperbola yang berpusat di (0, 0). Jadi, persamaan hiperbola yang berpusat di (h, k) adalah:
〖TF〗_2-〖TF〗_1=2a
√((x-(h-c) )^2+(y-k)^2 )-√((x-(h+c) )^2+(y-k)^2 )=2a
√((x-(h-c)^2+(y-k)^2 )^2 )=(2a√((x-(h+c)^2+(y-k)^2 ) ))^2
(x-(h-c)^2 )+(y-k)^2=〖4a〗^2+4a√((x-〖(h+c))〗^2+(y-k)^2 )+(x-(h+c) )^2+(y-k)^2
x^2-2x(h-c)+(h-c)^2+(y-k)^2=〖4a〗^2+4a√((x-〖(h+c))〗^2+(y-k)^2 )+x^2-2x(h+c)+(h+c)^2+(y-k)^2
x^2-2hx+2cx+h^2-2ch+c^2+(y-k)^2=〖4a〗^2+4a√((x-〖(h+c))〗^2+(y-k)^2 )+x^2-2hx-2cx+h^2+2ch+c^2+(y-k)^2
(4cx-4ch-〖4a〗^2)/4=(4a√((x-〖(h+c))〗^2+(y-k)^2 ))/4
(cx-ch-a^2 )^2=(a√((x-〖(h+c))〗^2+(y-k)^2 ))^2
(cx-ch-a^2 )(cx-ch-a^2 )=a^2 (x-〖(h+c))〗^2+(y-k)^2
c^2 x^2-c^2 hx-a^2 cx-c^2 hx+c^2 h^2+a^2 ch-a^2 cx+a^2 ch+a^4=a^2 (x^2-2x(h+c)+(h+c)^2+(y-k)^2 )
c^2 x^2-〖2c〗^2 hx-〖2a〗^2 cx+〖2a〗^2 ch-c^2 h^2+a^4=a^2 x^2-〖2a〗^2 hx-〖2a〗^2 cx+a^2 h^2+〖2a〗^2 ch+a^2 c^2+a^2 (y-k)^2
a^4-a^2 c^2=a^2 x^2-〖2a〗^2 hx+a^2 h^2-c^2 x^2+〖2c〗^2 hx+c^2 h^2+a^2 (y-k)^2
a^2 (a^2-c^2 )=(a^2-c^2 ) (x-h)^2+a^2 (y-k)^2
(a^2 (〖-b〗^2 ))/(a^2 (〖-b〗^2 ) )=((〖-b〗^2 ) (x-h)^2)/(a^2 (〖-b〗^2 ) )+(a^2 (y-k)^2)/(a^2 (〖-b〗^2 ) )
1= (x-h)^2/a^2 +(y-k)^2/b^2

Maka, persamaan hiperbola di (h, k) yang sejajar sumbu X adalah :



Dengan :
Titik puncak hiperbola di (h-a,k)dan (h+a,k)
Titik fokus hiperbola di (h-c,k)dan (h+c,k)

Sedangkan persamaan hiperbola yang pusatnya di Titik puncak hiperbola di (h,k) dan sumbu mayor sejajar dengan sumbu y adalah:














Dimana : c=√(a^2+b^2 )
Pusat: (h,k)
Titik puncak: A(h,k+a) dan A^' (h,k-a)
Titik fokus: F(h,k+c) dan F^' (h,k-c)
Persamaan asimsot: y-k=±b/a (x-h)
Sudut – sudut persegi yang membentuk asimsot:
(h+a,k+b) dan (h-a,k+b)
(h+a,k-b) dan (h-a,k+b)

Panjang sumbu mayor : 2a
Panjang sumbu minor : 2b

Contoh soal :
Tentukan titik pusat, titik puncak, titik fokus, panjang sumbu mayor, persamaan asimtot dan sudut – sudut persegi yang membentuk garis asimtot, kemudian buatlah sketsa dari persamaan berikut:
〖(x-1)〗^2/16-〖(y-2)〗^2/9=1
〖4y〗^2-〖9x〗^2-36x+24y-36=0



Jawab :
〖(x-1)〗^2/16-〖(y-2)〗^2/9=1

Penyelesaian :
〖(x-1)〗^2/16-〖(y-2)〗^2/9=1
Berarti :
a^2=16
a = 4 b^2=9
b =3 c=√(a^2+b^2 )
=√(16+9)
=√25
=5
Pusat : (h,k)=(1,2)
Puncak : A(h+a,k) dan A^' (h-a,k)
=A(1+4,2) dan A^' (1-4,2)
=A(5,2) dan A^' (-3,2)
Fokus : F(h+c,k) dan F^' (h-c,k)
=F(1+5,2) dan F^' (1-5,2)
=F(6,2) dan F^' (-4,2)
Persamaan asimsot: y-k=±b/a (x-h)
y-2=± 3/4 (x-1)
y=±3/4 x-3/4+2
y=±3/4 x+5/4
Persamaan asimsot :
y_1=3/4 x+5/4 dan y_2=-3/4 x+5/4
Sudut – sudut persegi yang membentuk asimsot:
(h+a,k+b) dan (h-a,k+b)= (1+4,2+3) dan (1-4,2+3)
=(5,5) dan (-3,5)
(h+a,k-b) dan (h-a,k+b)=(1+4,2-3) dan (1-4,2-3)
=(5,-1) dan (-3,-1)
Panjang sumbu mayor : 2a=2 .4=8





























〖4y〗^2-〖9x〗^2-36x+24y-36=0
Penyelesaian :
〖4y〗^2-〖9x〗^2-36x+24y-36=0
〖4y〗^2+24y-〖9x〗^2-36x-36=0
4(y^2+6y)-9(x^2+4x+2^2 )=36 4(y+3)^2-9(x+2)^2=36+4(3)^2-9(2)^2
4(y+3)^2-9(x+2)^2=36+36-36
(4(y+3)^2-9(x+2)^2=36)/36
〖(y+3)〗^2/9-(x+2)^2/4=1
Berarti,
a^2=9
a = 3 b^2=4
b =2 c=√(a^2+b^2 )
=√(9+4)
=√13
Pusat: (h,k)=(-2,-3)
Titik puncak: A(h,k+a) dan A^' (h,k-a)
=A(-2,-3+3) dan A^' (-2,-3-3)
=A(-2,0) dan A^' (-2,-6)
Titik fokus: F(h,k+c) dan F^' (h,k-c)
=F(-2,-3+√13) dan F^' (-2,-3-√13)
Persamaan asimsot: y-k=±b/a (x-h)
y-(-3)=±3/2 (x-(-2) )
y+3=±3/2 (x+2)
y=±3/2 x+6/2-3
y=±3/2 x+6/2-6/2
y=±3/2 x
Persamaan asimsot :
y_1=3/2 x dan y_2=-3/2 x

Sudut – sudut persegi yang membentuk asimsot:
(h+a,k+b) dan (h-a,k+b)= (1+4,2+3) dan (1-4,2+3)
=(5,5) dan (-3,5)
(h+a,k-b) dan (h-a,k+b)=(1+4,2-3) dan (1-4,2-3)
=(5,-1) dan (-3,-1)

Panjang sumbu mayor : 2a=2 .3=6
Garis asimsot :
y-h=±a/b (x-k)
y—3=±3/2 (x—2)
y+3=±3/2 (x+2)
y=±3/2 x+6/2-3
y=±3/2 x
Maka, y_1=3/2 x dan 〖 y〗_2=-3/2 x
Sudut-sudut persegi yang membentuk garis asimsot :
(h+b,k+a) dan (h-b,k+a)
(-2+2,-3+3) dan (-2-2,-3+2)
(0,0) dan (-4,0)
(h+b,k-a) dan (h-b,k-a)
(-2+2,-3-3) dan (-2-2,-3-3)
(0,-6) dan (-4,-6)






















GARIS SINGGUNG MELALUI TITIK (x_1,y_1 ) PADA HIPERBOLA








Perhatikan hiperbola x^2/a^2 -y^2/b^2 =1 pada gambar di atasa. Titik P(x_1,y_1 ) dan Q(x_1+h,y_1+k) terletak pada hiperbola. Ini berarti memenuhi persamaan :
〖x_1〗^2/a^2 -〖y_1〗^2/b^2 =1…………(1)
(x_1+h)^2/a^2 -(y_1+k)^2/b^2 =1…………(2)
Kurangkan persamaan (2) terhadap persamaan (1)
〖x_1〗^2/a^2 -〖y_1〗^2/b^2 -1=0…………(1)
(x_1+h)^2/a^2 -(y_1+k)^2/b^2 -1=0…………(2)
(x_1+h)^2/a^2 -(y_1+k)^2/b^2 -1= 〖x_1〗^2/a^2 -〖y_1〗^2/b^2 -1
(x_1+h)^2/a^2 -(y_1+k)^2/b^2 -〖x_1〗^2/a^2 +〖y_1〗^2/b^2 =-1+1
(x_1+h)^2/a^2 -〖x_1〗^2/a^2 -(y_1+k)^2/b^2 +〖y_1〗^2/b^2 =0
(〖x_1〗^2+2x_1 h+h^2-〖x_1〗^2)/a^2 -((〖y_1〗^2+2y_1 k+k^2 )+〖y_1〗^2)/b^2 =0
(2x_1 h+h^2)/a^2 -(〖y_1〗^2-2y_1 k-k^2+〖y_1〗^2)/b^2 =0
(2x_1 h+h^2)/a^2 -(2y_1 k-k^2)/b^2 =0
2〖b^2 x〗_1 h+〖b^2 h〗^2-2〖a^2 y〗_1 k+a^2 k^2=0
b^2 h(2x_1+h)-ka^2 (2y_1+k)=0
Bentuk tersebut dapat dinyatakan sebagai gradien garis PQ atau sebagai perbandingan k∶h berikut ini.
k/h=(b^2 (2x_1+h))/(a^2 (2y_1+k) )
Jika Q makin mendekati P, maka nilai k dan h mendekati 0. Sehingga :
k/h=(b^2 x_1)/(a^2 y_1 )
Dengan menggunakan rumus y-y_1=m(x-x_1 ), maka:
y-y_1=(b^2 x_1)/(a^2 y_1 ) (x-x_1 )
y-y_1 (a^2 y_1 )=b^2 x_1 (x-x_1 )
a^2 y_1 y-a^2 〖y_1〗^2=b^2 x_1 x-b^2 〖x_1〗^2
a^2 y_1 y-b^2 x_1 x=a^2 〖y_1〗^2-b^2 〖x_1〗^2
Oleh karena a^2 〖y_1〗^2-b^2 〖x_1〗^2=-a^2 b^2, maka a^2 y_1 y-b^2 x_1 x=-a^2 b^2
Jadi, persamaan garis singgung tersebut adalah:

Atau




Contoh soal.
Tentukan persamaan garis singgung hiperbola x^2/3-y^2/2=1 melalui titik (3√3,-4).
Penyelesaian :
dik : a^2=3, 〖 b〗^2=2, x_1=3√3 , y_1=-4




(x_1 x)/a^2 -(y_1 y)/b^2 =1
(3√3 x)/3-(-4y)/2=1
√3 x+2y=1



Atau



2y=-√3 x+1
y= (-√3 x+1)/2
y=- √3/2 x+ 1/2

Tentukan persamaan garis singgung hiperbola x^2/8-y^2/2=1 melalui titik (2,1).
Penyelesaian :
dik : a^2=8, 〖 b〗^2=2, x_1=2 , y_1=1
(x_1 x)/a^2 -(y_1 y)/b^2 =1
2x/8-1y/2=1
x/4-y/2=1



Atau



x/4-1=y/2
2(x/4-1)=y
2x/4-2=y
x/2-2=y
1/2 x-2=y


Tentukan persamaan garis singgung hiperbola 2x^2-〖4y〗^2=8 melalui titik (3,-1).
Penyelesaian :
Ubah persamaan 2x^2-〖4y〗^2=8 menjadi persamaan x^2/a^2 -y^2/b^2 =1
(2x^2-〖4y〗^2=8)/8
1/4 x^2-〖1/2 y〗^2=1
x^2/4-y^2/2=1
Sehingga diketahui :
a^2=4, 〖 b〗^2=2, x_1=3 , y_1=-1
Jawab:
(x_1 x)/a^2 -(y_1 y)/b^2 =1
3x/4-(-1y)/2=1
3x/4+y/2=1
3/4 x+ y/2=1



Atau




y/2=1-3/4 x
y=2(1-3/4 x)
y=2- 6/4 x
y=2- 3/2 x




GARIS SINGGUNG BERGRADIEN m

Perhatikan gambar hiperbola dibawah ini :










Persamaan hiperbola x^2/a^2 -y^2/b^2 =1 atau 〖b^2 x^2-a^2 y〗^2=a^2 b^2 dan sebuah garis y=mx+c yang menyinggung hiperbola tersebut, jika y=mx+c disubtitusikan kepersamaan hiperbola, maka:
Untuk persamaan ├ x^2/a^2 -y^2/b^2 =1}→ samakan penyebut
(〖b^2 x〗^2-a^2 y^2)/(a^2 b^2 )=1
〖b^2 x〗^2-a^2 y^2=a^2 b^2
〖b^2 x〗^2-a^2 (mx+c)^2=a^2 b^2
〖b^2 x〗^2-a^2 (〖m^2 x〗^2+2mcx+c^2 )=a^2 b^2
〖b^2 x〗^2-a^2 〖m^2 x〗^2-〖2a〗^2 mcx-a^2 c^2=a^2 b^2
〖b^2 x〗^2-a^2 〖m^2 x〗^2-〖2a〗^2 mcx-a^2 c^2-a^2 b^2 =0
(b^2-a^2 m^2 )x^2-〖2a〗^2 mcx-a^2 c^2-a^2 b^2 =0

a b c
Untuk persamaan ├ b^2 x^2-a^2 y^2=a^2 b^2 }→substitusikan y=mx+c
b^2 x^2-a^2 (mx+c)^2=a^2 b^2
〖b^2 x〗^2-a^2 (〖m^2 x〗^2+2mcx+c^2 )=a^2 b^2
〖b^2 x〗^2-a^2 〖m^2 x〗^2-〖2a〗^2 mcx-a^2 c^2=a^2 b^2
〖b^2 x〗^2-a^2 〖m^2 x〗^2-〖2a〗^2 mcx-a^2 c^2-a^2 b^2 =0
(b^2-a^2 m^2 )x^2-〖2a〗^2 mcx-a^2 c^2-a^2 b^2 =0
(b^2-a^2 m^2 )x^2+(-〖2a〗^2 mc)x+(-a^2 c^2-a^2 b^2 ) =0

a b c

Jika garis tersebut menyinggung hiperbola, maka akar persamaan kuadrat di atas mempunyai dua akar yang sama, dengan demikian deskriminannya sama dengan nol.
D=0
〖 b〗^2-4ac=0
〖 (-〖2a〗^2 mc)〗^2-4(b^2-a^2 m^2 )(-a^2 c^2-a^2 b^2 )=0
4a^4 m^2 c^2-(4b^2-4a^2 m^2 )(-a^2 c^2-a^2 b^2 )=0
4a^4 m^2 c^2—4a^2 b^2 c^2-4a^2 b^4+4a^4 m^2 c^2+4a^4 〖b^2 m〗^2=0
4a^4 m^2 c^2+4a^2 b^2 c^2+4a^2 b^4-4a^4 m^2 c^2-4a^4 〖b^2 m〗^2=0
4a^2 b^2 c^2+4a^2 b^4-4a^4 〖b^2 m〗^2=0
4a^2 b^2 c^2=4a^4 〖b^2 m〗^2-4a^2 b^4 (kedua ruas dibagi 4)
〖 a〗^2 b^2 c^2=a^4 〖b^2 m〗^2-a^2 b^4
〖 a〗^2 b^2 c^2=a^2 b^2 (a^2 m^2-b^2 )
c^2=(a^2 b^2 (a^2 m^2-b^2 ))/(a^2 b^2 )
c^2=a^2 m^2-b^2
c=±√(a^2 m^2-b^2 )

Karena y=mx±c dan c=±√(a^2 m^2-b^2 ) maka didapat persamaan garis singgung bergradien m :

Pusat di (0, 0)
Dan




Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung hiperbola x^2/16-y^2/9=1 yang bergradien 3.
Penyelesaian :
x^2/16-y^2/9=1⟹x^2/a^2 -y^2/b^2 =1
maka didapat: a^2=16 b^2=9 m=3
maka∶
y =mx±√(a^2 m^2-b^2 )
=3x±√(16.(3)^2-9)
=3x±√(16.9-9)
=3x±√(144-9)
=3x±√135
Jadi persamaan garis singgung adalah y=3x+√135 dan y=3x-√135

Tentukan persamaan garis singgung hiperbola x^2-5y^2=20 yang bergradien -1/2
Penyelesaian :
x^2-5y^2=20
x^2/20-(5y^2)/20=20/20
x^2/20-y^2/4=1⟹x^2/a^2 -y^2/b^2 =1
di dapat∶a^2=20; b^2=4; m=-1/2
maka:


y =mx±√(a^2 m^2-b^2 )
=-1/2±√(20.(-1/2)^2-4)
=-1/2±√(20.(1/4)-4)
=-1/2±√(5-4)
=-1/2±√1
=-1/2±1
Jadi, persamaan garis singgung adalah : y=-1/2+1 dan y=-1/2-1

















GARI SINGGUNG MELALUI TITIK (x_1,y_1 ) DI LUAR HIPERBOLA

Untuk menentukan garis singgung hiperbola melalui titik (x_1,y_1 ) di luar hiperbola, tidak terdapat rumus yang baku. Untuk menentukannya dapat digunakan rumus pada sus – sub pembahasan sebelumnya.




Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung hiperbola x^2-4y^2=12 melalui titik (1, 4)
Penyelesaian :
Jika titik (x_1,y_1 ) merupakan titik singgung garis, terhadap hiperbola maka memenuhi persamaan :
x_1 x-〖4y〗_1 y=12………(1)
〖x_1〗^2-〖〖4y〗_1〗^2=12………(2)
Karena titik (1, 4) terletak pada garis singgung (1) maka akan memenuhi :
x_1 x-〖4y〗_1 y=12
x_1 (1)-〖4y〗_1 (4)=12
x_1-〖16y〗_1=12
x_1=〖16y〗_1+12
x_1=4(〖4y〗_1+3)………(3)
Subtitusikan x_1=4(〖4y〗_1+3) ke persamaan (2) sehingga :
〖x_1〗^2-〖〖4y〗_1〗^2=12
[4(〖4y〗_1+3) ]^2-〖〖4y〗_1〗^2=12
16(〖4y〗_1+3)^2-〖〖4y〗_1〗^2=12 (dibagi 4)
〖4(〖4y〗_1+3)〗^2-〖y_1〗^2=3
4(〖〖16y〗_1〗^2+2〖4y〗_1+9)-〖y_1〗^2=3
〖〖64y〗_1〗^2+〖96y〗_1+36-〖y_1〗^2-3=0
〖〖63y〗_1〗^2+〖96y〗_1+33=0
3(〖21y〗_1+11)(y_1+1)=0
〖21y〗_1+11=0
〖21y〗_1=-11
〖 y〗_1=-11/21 y_1+1=0
y_1=-1



Subtitusi y_1=-11/21 ke persamaan (2)
〖x_1〗^2-〖〖4y〗_1〗^2=12
〖x_1〗^2-4(-11/21)^2=12
〖x_1〗^2-4(121/441)=12
〖x_1〗^2-484/441=12
〖x_1〗^2=484/441+12
= (484+5292)/441
= 5776/441
x_1=√(5776/441)
= 76/21
Maka didapat titik singgung (76/21,-11/21 ) sehingga persamaan garis singgung :
x_1 x-4 y_1 y=12
76/21 x-4 (-11/21)y=12
76/21 x+ 44/21 y=12
(76x+44y)/21=12
76x+44y=252
76x+44y-252=0
38x+22y-126=0
Subtitusi y_1=-1 ke persamaan (2)
〖x_1〗^2-〖〖4y〗_1〗^2=12
〖x_1〗^2-4(-1)^2=12
〖x_1〗^2-4=12
〖x_1〗^2=12+4
〖x_1〗^2=16
x_1=√16
x_1=4
Maka didapat titik singgung (4, -1) sehingga persamaan garis singgung :
x_1 x-4 y_1 y=12
4x-4 (-1)y =12
4x+4y=12
4x+4y-12=0
x+y-3=0

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar